Bất Đẳng Thức.pdf, C11. (196-214) Giải Tích Tổ Hợp.PDF, C22. 450 Bài Tập Trắc Nghiệm Và Tự Luận Tích Phân.pdf, C19. 11-Bài Tập Trắc Nghiệm Và Tự Luận Hình Học 12 Cơ Bản Và Nâng Cao - Ha Van Chuong, 191 Trang.pdf, C08. Mô tả. Cuốn ebook "Tuyển tập Bất đẳng thức bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 10" do tác giả Hoàng Minh Quân sưu tầm chọn lọc và biên soạn bao gồm nhiều dạng bài bất đẳng thức hay và khó, mỗi dạng bài đều có lời giải chi tiết và cách thức, phương pháp để giải các Bài 1: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức. Bài 11 (trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao) Chứng minh rằng : a) Nếu a và b là hai số cùng dấu thì a / b + b / a 2. b) Nếu a và b là hai số trái dấu thì a / b + b / a -2. Câu trả lời: Đẳng thức xảy ra lúc a=b=c hoặc a=0 cùng b=c và những hoán vị. 9. Bất đẳng thức chứa dấu giá bán trị tuyệt đối. Với mọi số thực x,y ta có. Đẳng thức xảy ra Khi x,y thuộc dấu hay. Với mọi số thực x,y ta có. Dấu “=” xảy ra lúc với chỉ khi. 10. Bất đẳng thức Tài liệu bất đẳng thức lớp 10 gồm 301 trang với các bài tập chứng mình bất đẳng thức, ứng dụng bất đẳng thức vào giải phương trình, hệ phương trình, Như các em đã biết, bất đẳng thức là một chuyên đề khó trong môn toán học, đặc biệt là toán trung học phổ thông Mục lục Giải Toán lớp 10 nâng cao Mục lục Giải Đại Số 10 nâng cao Toán 10 Chương 1: Mệnh đề - Tập hợp Toán 10 Chương 2: Hàm số hàng đầu và bậc hai Toán 10 Chương 3: Phương trình với hệ phương trình Toán 10 Chương 4: Bất đẳng thức với bất phương trình Toán 10 Chương Oar4pA. Bài viết này nhắc lại các bất đẳng thức được dùng trong chương trình Toán THCS để giải các bài tập BĐT cơ bản và nâng đẳng thức là một dạng toán hay và khó trong chương trình Toán THCS. Các bài BĐT thường là bài cuối cùng để phân loại học sinh khá giỏi trong các đề tuyển sinh vào cấp 3 môn Toán hoặc trong các kì thi học sinh bất đẳng thức ở cấp 2 được dùng đó làTóm tắt1 1. Bất đẳng thức AM-GM Arithmetic Means – Geometric Means2 2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Bunyakovsky3 3. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel hay còn gọi là BĐT Schwarz4 4. Bất đẳng thức Chebyshev Trê- bư-sép5 5. Bất đẳng thức Bernoulli6 6. Bất đẳng thức Netbitt7 7. Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình điều hòa AM-HM Arithmetic Means – Hamonic Means8 8. Bất đẳng thức Schur9 9. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối10 10. Bất đẳng thức Mincopxki1. Bất đẳng thức AM-GM Arithmetic Means – Geometric MeansVới các bộ số $ \displaystyle{{a}_{1}};{{a}_{2}};…;{{a}_{n}}$ không âm ta có $ \displaystyle\frac{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}}}{n}\ge \sqrt[n]{{{{a}_{1}}{{a}_{2}}…{{a}_{n}}}}$Ta có 3 dạng thường gặp của bđt này 1 $ \displaystyle \frac{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}}}{n}\ge \sqrt[n]{{{{a}_{1}}{{a}_{2}}…{{a}_{n}}}}$Dạng 2 $ \displaystyle {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}\ge n\sqrt[n]{{{{a}_{1}}{{a}_{2}}…{{a}_{n}}}}$Dạng 3 $ \displaystyle {{\left {\frac{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}}}{n}} \right}^{n}}\ge {{a}_{1}}{{a}_{2}}…{{a}_{n}}$ Dấu “=” xảy ra khi $ \displaystyle {{a}_{1}}={{a}_{2}}=…{{a}_{n}}$Đối với BĐT này ta cần thành thạo kĩ thuật sử dụng bđt AM-GM cho 2 số và 3 số2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz BunyakovskyDạng tổng quát Cho $ \displaystyle {{a}_{1}};{{a}_{2}};…{{a}_{n}};{{b}_{1}};{{b}_{2}};…{{b}_{n}}$ là 2n số thực tùy ý khi đóDạng 1 $ \displaystyle a_{1}^{2}+…+a_{n}^{2}b_{1}^{2}+…+b_{n}^{2}\ge {{{{a}_{1}}{{b}_{1}}+…+{{a}_{n}}.{{b}_{n}}}^{2}}$ 1Dạng 2 $ \displaystyle \sqrt{{a_{1}^{2}+…+a_{n}^{2}b_{1}^{2}+…+b_{n}^{2}}}\ge {{a}_{1}}{{b}_{1}}+…+{{a}_{n}}.{{b}_{n}}$ 2Dạng 3 $ \displaystyle \sqrt{{a_{1}^{2}+…+a_{n}^{2}b_{1}^{2}+…+b_{n}^{2}}}\ge {{a}_{1}}{{b}_{1}}+…+{{a}_{n}}.{{b}_{n}}$ 3Dấu “=” xảy ra ở 12 $ \displaystyle \Leftrightarrow \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}=…=\frac{{{{a}_{n}}}}{{{{b}_{n}}}}$Dấu “=” xảy ra ở 3 $ \displaystyle \Leftrightarrow \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}=…=\frac{{{{a}_{n}}}}{{{{b}_{n}}}}\ge 0$Quy ước mẫu bằng 0 thì tử bằng 03. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel hay còn gọi là BĐT SchwarzCho $ \displaystyle {{a}_{1}};{{a}_{2}};…{{a}_{n}};{{b}_{1}};{{b}_{2}};…{{b}_{n}}$ là các số >0Ta có $ \displaystyle \frac{{x_{1}^{2}}}{{{{a}_{1}}}}+\frac{{x_{2}^{2}}}{{{{a}_{2}}}}+…+\frac{{x_{n}^{2}}}{{{{a}_{n}}}}\ge \frac{{{{{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+…+{{x}_{n}}}}^{2}}}}{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}}}$Dấu “=” xảy ra khi $ \displaystyle \frac{{{{x}_{1}}}}{{{{a}_{1}}}}=\frac{{{{x}_{2}}}}{{{{a}_{2}}}}…=\frac{{{{x}_{n}}}}{{{{a}_{n}}}}$4. Bất đẳng thức Chebyshev Trê- bư-sépDạng tổng quát Nếu $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{a}_{1}}\ge {{a}_{2}}\ge …\ge {{a}_{n}}} \\ {{{b}_{1}}\ge {{b}_{2}}\ge …\ge {{b}_{n}}} \end{array}} \right.$Hoặc $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{a}_{1}}\le {{a}_{2}}\le …\le {{a}_{n}}} \\ {{{b}_{1}}\le {{b}_{2}}\le …\ge {{b}_{n}}} \end{array}} \right.$Dạng 1 $ \displaystyle \frac{{{{a}_{1}}.{{b}_{1}}+{{a}_{2}}.{{b}_{2}}+…+{{a}_{n}}.{{b}_{n}}}}{n}\ge \frac{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}}}{n}.\frac{{{{b}_{1}}+{{b}_{2}}+…+{{b}_{n}}}}{n}$Dạng 2 $ \displaystyle n{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+…+{{a}_{n}}{{b}_{n}}\ge {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}{{b}_{1}}+{{b}_{2}}+…+{{b}_{n}}$Nếu $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{a}_{1}}\le {{a}_{2}}\le …\le {{a}_{n}}} \\ {{{b}_{1}}\ge {{b}_{2}}\ge …\ge {{b}_{n}}} \end{array}} \right.$hoặc $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{a}_{1}}\ge {{a}_{2}}\ge …\ge {{a}_{n}}} \\ {{{b}_{1}}\le {{b}_{2}}\le …\le {{b}_{n}}} \end{array}} \right.$Dạng 1 $ \displaystyle \frac{{{{a}_{1}}.{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+…+{{a}_{n}}.{{b}_{n}}}}{n}\le \frac{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}}}{n}.\frac{{{{b}_{1}}+{{b}_{2}}+…+{{b}_{n}}}}{n}$Dạng 2 $ \displaystyle n{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+…+{{a}_{n}}{{b}_{n}}\le {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}{{b}_{1}}+{{b}_{2}}+…+{{b}_{n}}$Bất đẳng thức Chebyshev không được sử dụng trực tiếp mà phải chứng minh lại bằng cách xét hiệuBất đẳng thức Chebyshev cho dãy số sắp thứ tự, do đó nếu các số chưa sắp thứ tự ta phải giả sử có quan hệ thứ tự giữa các Bất đẳng thức BernoulliVới $ \displaystyle x>-1;r\ge 1\vee r\le 0\Rightarrow {{1+x}^{r}}\ge 1+rx$Nếu $ \displaystyle 1>r>0$ thì $ {{1+x}^{r}}\le 1+rx$Bất đẳng thức này có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp hoặc sử dụng BĐT AM-GM6. Bất đẳng thức NetbittỞ đây mình chỉ nêu dạng thường dùngVới x,y,z là các số thực >0Bất đẳng thức Netbitt 3 biến$ \displaystyle \frac{x}{{y+z}}+\frac{z}{{x+y}}+\frac{y}{{x+z}}\ge \frac{3}{2}$Dấu “=” xảy ra khi x=y=z>0BĐT Netbitt 4 biến$ \displaystyle \frac{a}{{b+c}}+\frac{b}{{d+c}}+\frac{c}{{d+a}}+\frac{d}{{a+b}}\ge 2$Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=d>07. Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình điều hòa AM-HM Arithmetic Means – Hamonic MeansNếu $ {{a}_{1}},{{a}_{2}},…,{{a}_{n}}$ là những số thực dương thì$ \displaystyle \frac{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}}}{n}\ge \frac{n}{{\frac{1}{{{{a}_{1}}}}+\frac{1}{{{{a}_{2}}}}+…+\frac{1}{{{{a}_{n}}}}}}$Dấu “=” xảy ra khi $ {{a}_{1}}={{a}_{2}}=…={{a}_{n}}$8. Bất đẳng thức SchurDạng thường gặpCho a,b,c là những số không âm$ a+b-cb+c-ac+a-b\le abc$$ {{a}^{r}}a-ba-c+{{b}^{r}}b-ab-c+{{c}^{r}}c-ac-b\ge 0$ với r là số thực dươngĐẳng thức xảy ra khi a=b=c hoặc a=0 và b=c và các hoán vị9. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đốiVới mọi số thực x,y ta có $ x+y\le x+y$Đẳng thức xảy ra khi x,y cùng dấu hay $ xy\ge 0$Với mọi số thực x,y ta có $ x-y\ge x-y$Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $ yx-y\ge 0$10. Bất đẳng thức MincopxkiVới 2 bộ n số $ {{a}_{1}},{{a}_{2}},…,{{a}_{m}}$ và $ {{b}_{1}},{{b}_{2}},…,{{b}_{m}}$ thì Dạng 1$\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}+\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+\ldots+\sqrt{a_{m}^{2}+b_{m}^{2}} \geq \sqrt{\lefta_{1}+a_{2}+\ldots+a_{m}\right^{2}+\leftb_{1}+b_{2}+\ldots+b_{m}\right^{2}}$Dạng 2 Cho x,y,z,a,b,c là các số dương ta có$\sqrt[4]{a b c}+\sqrt[4]{x y z} \leq \sqrt[4]{a+xb+yc+z} \sqrt{a c}+\sqrt{b d} \leq \sqrt{a+bc+d}$Những lời khuyên bổ ích khi học bất đẳng thức1. Nắm chắc các tính chất cơ bản của Nắm vững các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức cơ bản như Cân bằng hệ số, biến đổi tương đương, làm trội, sử dụng BĐT cổ điển, quy nạp, phản chứng,…3. Đặc biệt luôn chú trọng vào ôn tập các kĩ thuật sử dụng BĐT AM-GM, Cauchy-Schwarz, luôn biết đặt và trả lời các câu hỏi như khi nào áp dụng? điều kiện các biến là gì? dấu “=” xảy ra khi nào? nếu áp dụng thế dấu “=” có xảy ra không, tại sao lại thêm bớt như vậy,…4. Luôn bắt đầu với những bất đẳng thức cơ bản điều này vô cùng quan trọng; học thuộc một số BĐT cơ bản có nhiều ứng dụng nhưng phải chú ý điều kiện áp tức - Tags bất đẳng thức, bđt, THCS20 câu trắc nghiệm ngữ âm tiếng Anh 10 có đáp án20 câu trắc nghiệm phát âm tiếng Anh 6 có đáp án20 câu trắc nghiệm Ngữ Văn 6 có đáp ánHướng dẫn cách giúp trẻ 3 tuổi nhận biết “Một – Nhiều”Hướng dẫn cách giúp trẻ 3 tuổi nhận biết “Dài – Ngắn”Đề cương ôn tập Khoa học lớp 5 cả nămĐề cương ôn tập Địa lý lớp 5 cả năm xin gửi đến bạn đọc tài liệu Một số bất đẳng thức nâng cao của tác giả Nguyễn Vũ Thanh - THPT chuyên Tiền Giang. Mục tiêu của tài liệu này là nhằm hệ thống và phân loại kiến thức các bài tập có sử dụng một số bất đẳng thức nâng cao mà chỉ học sinh chuyên Toán mới được học như Bất đẳng thức Côsi mở rộng, Bất đẳng thức Bunhiacopxki mở rộng, Bất đẳng thức Jensen, Bất đẳng thức Tsêbưsep, Bất đẳng thức Schwarz,... .Giúp cho học sinh có hệ thống kiến thức và biết vận dụng vào việc giải các bài toán đại số đồng thời định hướng suy nghĩ tư duy toán học và khả năng vận dụng sáng tạo trong các bài toán mới. Chuyên đề này nhằm giúp cho học sinh giỏi có thêm phương pháp và tài liệu cần thiết để giải các bài tập về Bất đẳng thức và áp dụng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất . Qua chuyên đề này giúp học sinh khắc sâu thêm kiến thức về Bất đẳng thức và đạo hàm. Giúp cho học sinh có thêm phương pháp để viết các chuyên đề nâng cao khác. II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương I BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN Chương II BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI Chương III BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV Tsêbưsep Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI MỞ RỘNG Chương V BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI MỞ RỘNG Chương VI BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ SVACXO Chương VII MỘT MỞ RỘNG CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SVACXO,TRÊBUSEP,BUNHIACOPSKI Chương VIII SỬ DỤNG TÍNH CHẤT THỨ TỰ CỦA HAI DÃY BẤT ĐẲNG THỨC Trong mỗi chương sau phần trình bày Bất đẳng thức là phần chứng minh và các bài tập áp dụng. Tải tại đây. THEO Chia sẻ một số bài toán bất đẳng thức hay và khó có lời giải chi tiết dễ hiểu, giúp các em học sinh nâng cao khả năng làm dạng toán dung cơ bản gồmLựa chọn và giới thiệu một số bài toán bất đẳng thức hay và khó, cùng với đó là quá trình phân tích các hướng tiếp cận bài toán và các lời giải độc chọn và giới thiệu một số bài toán bất đẳng thức từ các đề thi học sinh giỏi môn Toán cấp THCS, THPT và một số bất đẳng thức từ các đề thi vào lớp 10 chuyên toán trong một số năm trở lại đây .Giới thiệu các bài tập tổng hợp để các em học sinh có thể tự rèn tức - Tags bất đẳng thức, bđtỨng dụng của đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức và bài toán tìm cực trịỨng dụng của một hệ quả của bất đẳng thức SchurPhương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng đẳng thứcỨng dụng nguyên lí Dirichlet trong chứng minh bất đẳng thứcMột số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức BunhiacopxkiMột số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức CauchyPhương pháp quy nạp toán học chứng minh BĐT Một số bất đẳng thức đã được chứng minh thường sử dụng để để giải các bài tập BĐT cơ bản và nâng cao trong chương trình Toán đang xem Các bất đẳng thức nâng caoBất đẳng thức trong chương trình Toán THCS lớp 6, 7, 8, 9 là một dạng toán hay và khó. Các bài tập chứng minh BĐT thường là bài cuối cùng trong các đề thi để phân loại học sinh, bài toán chứng minh bất đẳng thức THCS thi học sinh giỏi cấp quận huyện, tỉnh, thành thêm Soạn Bài Soạn Siêu Ngắn Sự Giàu Đẹp Của Tiếng Việt Trang 34Bất đẳng thức THCS cơ bản và nâng caoCác bất đẳng thức cấp 2 thường dùng là1. Bất đẳng thức AM-GM Arithmetic Means – Geometric MeansVới các bộ số không âm ta có{{{{a}_{1}}{{a}_{2}}…{{a}_{n}}}}" title="Rendered by height="35" width="261" style="vertical-align -12px;">Dạng 1 {{{{a}_{1}}{{a}_{2}}…{{a}_{n}}}}" title="Rendered by height="35" width="261" style="vertical-align -12px;">Dạng 2 {{{{a}_{1}}{{a}_{2}}…{{a}_{n}}}}" title="Rendered by height="18" width="270" style="vertical-align -5px;">Dạng 3 Dấu “=” xảy ra khi Đối với BĐT này ta cần thành thạo kĩ thuật sử dụng bđt AM-GM cho 2 số và 3 số2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz BunyakovskyDạng tổng quát Cho là 2n số thực tùy ý khi đóDạng 1 1Dạng 2 2Dạng 3 3Dấu “=” xảy ra ở 12Dấu “=” xảy ra ở 3Quy ước mẫu bằng 0 thì tử bằng 03. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel hay còn gọi là BĐT SchwarzCho là các số >0Ta cóDấu “=” xảy ra khi4. Bất đẳng thức Chebyshev Trê- bư-sépDạng tổng quát Nếu Hoặc Dạng 1Dạng 2Nếu hoặcDạng 1Dạng 2Bất đẳng thức Chebyshev không được sử dụng trực tiếp mà phải chứng minh lại bằng cách xét hiệuBất đẳng thức Chebyshev cho dãy số sắp thứ tự, do đó nếu các số chưa sắp thứ tự ta phải giả sử có quan hệ thứ tự giữa các Bất đẳng thức BernoulliVới-1;r\ge 1\vee r\le 0\Rightarrow {{1+x}^{r}}\ge 1+rx" title="Rendered by height="19" width="328" style="vertical-align -5px;">Nếur>0" title="Rendered by height="14" width="73" style="vertical-align -2px;"> thìBất đẳng thức này có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp hoặc sử dụng BĐT AM-GM6. Bất đẳng thức NetbittỞ đây mình chỉ nêu dạng thường dùngVới x,y,z là các số thực >0Bất đẳng thức Netbitt 3 biếnDấu “=” xảy ra khi x=y=z>0BĐT Netbitt 4 biếnDấu “=” xảy ra khi a=b=c=d>07. Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình điều hòa AM-HM Arithmetic Means – Hamonic MeansNếu là những số thực dương thìDấu “=” xảy ra khi 8. Bất đẳng thức SchurDạng thường gặpCho a,b,c là những số không âmvới r là số thực dươngĐẳng thức xảy ra khi a=b=c hoặc a=0 và b=c và các hoán vị9. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đốiVới mọi số thực x,y ta cóĐẳng thức xảy ra khi x,y cùng dấu hayVới mọi số thực x,y ta cóDấu “=” xảy ra khi và chỉ khi10. Bất đẳng thức MincopxkiVới 2 bộ n số và thì Dạng 1Dạng 2 Cho x,y,z,a,b,c là các số dương ta có{a b c}+\sqrt{x y z} \leq \sqrt{a+xb+yc+z} \sqrt{a c}+\sqrt{b d} \leq \sqrt{a+bc+d}" title="Rendered by height="22" width="538" style="vertical-align -6px;"> Một số bất đẳng thức đã được chứng minh thường sử dụng để để giải các bài tập BĐT cơ bản và nâng cao trong chương trình Toán đẳng thức trong chương trình Toán THCS lớp 6, 7, 8, 9 là một dạng toán hay và khó. Các bài tập chứng minh BĐT thường là bài cuối cùng trong các đề thi để phân loại học sinh, bài toán chứng minh bất đẳng thức THCS thi học sinh giỏi cấp quận huyện, tỉnh, thành đẳng thức THCS cơ bản và nâng caoCác bất đẳng thức cấp 2 thường dùng là1. Bất đẳng thức AM-GM Arithmetic Means – Geometric MeansVới các bộ số không âm ta cóTa có 3 dạng thường gặp của bđt này 1 Dạng 2 Dạng 3 Dấu “=” xảy ra khi Đối với BĐT này ta cần thành thạo kĩ thuật sử dụng bđt AM-GM cho 2 số và 3 số2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz BunyakovskyDạng tổng quát Cho là 2n số thực tùy ý khi đóDạng 1 1Dạng 2 2Dạng 3 3Dấu “=” xảy ra ở 12 Dấu “=” xảy ra ở 3 Quy ước mẫu bằng 0 thì tử bằng 03. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel hay còn gọi là BĐT SchwarzCho là các số >0Ta có Dấu “=” xảy ra khi 4. Bất đẳng thức Chebyshev Trê- bư-sépDạng tổng quát Nếu Hoặc Dạng 1Dạng 2Nếu hoặc Dạng 1 Dạng 2 Bất đẳng thức Chebyshev không được sử dụng trực tiếp mà phải chứng minh lại bằng cách xét hiệuBất đẳng thức Chebyshev cho dãy số sắp thứ tự, do đó nếu các số chưa sắp thứ tự ta phải giả sử có quan hệ thứ tự giữa các Bất đẳng thức BernoulliVới Nếu thì Bất đẳng thức này có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp hoặc sử dụng BĐT AM-GM6. Bất đẳng thức NetbittỞ đây mình chỉ nêu dạng thường dùngVới x,y,z là các số thực >0Bất đẳng thức Netbitt 3 biếnDấu “=” xảy ra khi x=y=z>0BĐT Netbitt 4 biếnDấu “=” xảy ra khi a=b=c=d>07. Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình điều hòa AM-HM Arithmetic Means – Hamonic MeansNếu là những số thực dương thìDấu “=” xảy ra khi 8. Bất đẳng thức SchurDạng thường gặpCho a,b,c là những số không âm với r là số thực dươngĐẳng thức xảy ra khi a=b=c hoặc a=0 và b=c và các hoán vị9. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đốiVới mọi số thực x,y ta có Đẳng thức xảy ra khi x,y cùng dấu hay Với mọi số thực x,y ta có Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 10. Bất đẳng thức MincopxkiVới 2 bộ n số và thì Dạng 1Dạng 2 Cho x,y,z,a,b,c là các số dương ta có Kiến thức THCS - Tags bất đẳng thức, bất đẳng thức thcs, bđt, bđt cơ bản, bđt nâng cao, toán thcsPhương pháp biến đổi tương đương chứng minh bất đẳng thứcLý thuyết cơ bản chứng minh bất đẳng thứcTài liệu học bất đẳng thức THCS hay Các hướng dẫn ở đây chỉ mang tính gợi ý rút gọn, không phải là bài trình bày mẫu. Trong trường hợp các em đã suy nghĩ rất nhiều mà chưa ra cách giải thì được phép xem hướng dẫn để suy nghĩ tiếp. Sau khi đã xem gợi ý mà các em vẫn còn gặp khó khăn thì lên lớp để hỏi các thầy cô. Đại số 10 NC Bài 29 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC B2 BĐT CÔSI I. Lý thuyết Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân Bất đẳng thức Cauchy a Đối với hai số không âm Cho , ta có . Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi Hệ quả * Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau * Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau b Đối với ba số không âm Cho , ta có . Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi Mở rộng Bất đẳng thức Cosi với n số không âm Một số hình thức khác của bất đẳng thức Cosi Đối với hai số . Đối với ba số ; Chú ý * Khi áp dụng bđt côsi thì các số phải là những số không âm * BĐT côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích * Điều kiện xảy ra dấu =’ là các số bằng nhau * Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng Cho học sinh áp dụng bất đăng thức Cosi chứng minh hai ví dụ sau VD a Cho a,b là hai số dương, CMR b Cho a, b, c là ba số dương, CMR Hướng dẫn khi để bài cho điều kiện a,b dương ta sẽ nghĩ đến bất đẳng thức cosi, Bất đẳng thức cosi có vế lớn hơn phải là tổng, vế nhỏ là tích. Nhìn vào bất đẳng thức phần a vế lớn đang ở dạng gì? Dạng tích Tuy nhiên bên trong đã có dạng là tổng của hai số dương vậy ta nên áp dụng bdt cosi cho hai số dương của từng ngoặc. Tương tự phần b Nhắc học sinh khi muốn dùng bđt này ta cần phải chứng minh lại. BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Mức 2 a Cho là hai số dương. Chứng minh b Với . Chứng minh rằng Hướng dẫn a Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương a, b ta được 1 Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương và ta được 2 Nhân theo vế của 1 và 2 ta được đpcm b Ta có ; ; Cộng các BĐT trên theo vế ta được điều phải chứng minh Bài 4. Mức 2 Với . Chứng minh rằng Dạng vế trái của bất đẳng thức này giống với bđt nào? Vậy ta áp dụng bđt này cho ba số Hướng dẫn Ta có 1 dễ dàng suy ra từ BĐT Cô si Áp dụng 1 ta được vì Bài 2. Mức 2Cho là số dương. Chứng minh rằng Hướng dẫn Áp dụng BĐT Cô si cho hai số thực dương ta có ; ; Cộng vế với vế ta được Dấu “=” xảy ra khi Bài 5. Mức 2Cho và . Chứng minh rằng a b Hướng dẫn a Ta có ; ; Cộng vế với vế ta được b Ta có ; ; Cộng vế với vế ta được Bài 6. Mức 3 Cho x, y, z là ba số không âm thỏa mãn . Chứng minh Hướng dẫn Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số không âm , 1 và 1 ta được 1 Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số không âm , 1 và 1 ta được 2 Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số không âm , 1 và 1 ta được 3 Cộng vế với vế của 1, 2, 3 ta được Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số không âm ta được Vậy đpcm Bài 7. Mức 2 Tìm GTNN của với Hướng dẫn Áp dụng BĐT Cô si ta có = Dấu “=” xảy ra Vậy GTNN của là 9, đạt được khi

bất đẳng thức lớp 10 nâng cao